Botes, puercos y teoría de juegos

Me incluyeron hace algunos días en una discusión en Twitter. Como esta se volvió circular, perdí el interés en seguirla de cerca, pero básicamente en una esquina tenemos a quien debate que el gobierno tiene una obligación moral de colocar botes en las calles, para evitar contaminación, mientras que en la otra esquina está quien dice que los botes en las calles son un incentivo para que las personas tiren en la calle, que al poner los botes, las personas se acostumbran a poder tener basura en la calle, por lo tanto lo ideal es no gastar en botes y de alguna manera “educar” a las personas.

Aclaro que estoy escribiendo esto sin afán de criticar ninguna de las posturas, creo que ambas tienen una lógica bastante válida. Desgraciadamente, nuestro espíritu animal y ansias de ganar impiden que esto se reconozca públicamente muy fácil y por lo tanto las discusiones no terminan en ninguna conclusión definitiva. Por mi parte sólo puedo decir que escribo estas líneas por la misma razón por la que he vertido todo tipo de información en este blog: porque escribir al respecto me ayuda a aclarar las ideas y asentar una opinión con la lógica bien sólida.

A partir de aquí recurriré a técnicas de análisis un poco más complejas, con la intención de que reducir al mínimo los huecos de lógica que puedan existir por el uso inadecuado de las palabras. En concreto haré uso de teoría de juegos, desarrollando un modelo sencillo. Aclaro que este modelo lo estoy haciendo sobre la marcha, así que insto al lector a que haga sugerencias sobre variables que realmente podrían afectar el resultado, tomando en cuenta que la idea es reducir la situación a lo más básico posible.

Se plantea un juego con dos jugadores, el gobierno, responsable de mantener la ciudad limpia, y el consumidor. El consumidor obtiene utilidad por una ciudad limpia, pero logra esto a través de un agente externo. Es por esto que introducimos un umbral de resistencia a la contaminación (En primera instancia haremos este umbral exógeno, por simplicidad, pero la segunda hipótesis que planteamos probablemente requiera endogeneizarlo), si la contaminación en el ambiente supera ese umbral, el agente castiga al gobierno con una desutilidad (se me ocurre temporalmente que podría usarse una delta de Dirac que vuelva cero la utilidad del gobierno si esto sucede, por ejemplo). Pero el agente también gana utilidad indirectamente por contaminar. No es que le guste contaminar, pero le gusta consumir, y hacerlo implica contaminar. Como es una relación indirecta, pero no nos interesa lo demás respectivo al consumo, podríamos sin pérdida de generalidad asumir que simplemente le gusta contaminar, pero no le gusta estar en un lugar contaminado, por muy irónico que suene.

El juego se hace en dos etapas, en la primera, el gobierno decide si pone botes en un conjunto de N localidades, que conforman la ciudad. El poner botes tiene un costo c. Por lo tanto, la utilidad del gobierno está dada por G=p-nc, con n,c como el número de botes puestos y un premio por parte de los pobladores si la ciudad está limpia. Si la ciudad está sucia por encima de un umbral T, entonces c=0. El premio podría ser una abstracción de los votos en la siguiente elección, este es un modelo estático, pero el valor de c podría estar en función de lo cercanas que estén las elecciones, por ejemplo. Por lo tanto, si el gobierno decidiera llenar las N localidades de botes, G=p-Nc, lo que significa que lo haría, siempre y cuando  p\geq Nc. De hecho, para cualquier valor de n tenemos que si p\geq nc, el gobierno está dispuesto a hacerlo. Si por alguna razón le generara utilidad la limpieza, el gobierno simplemente optimizaría en el punto en que p=nc, pero como no hay nada que indique que sea el caso, nos quedaremos con la situación anterior.

En la segunda etapa, el agente consume y decide la probabilidad con la que tirará basura. Se plantea un vector de N agentes representativos de cada una de las localidades, la probabilidad con la que están tirando se puede ver como una generalización para un conjunto de pobladores, es decir, si p_1=0.5 se puede interpretar que el 50 por ciento de los pobladores de la localidad 1 tuvieron la necesidad de tirar basura en ese punto. Naturalmente p\in[0,1].

Vamos a hacer esto mas divertido, los botes tienen capacidad limitada establecida q_i\in[0,1], si q_i<p_i entonces la localidad i tiene un nivel de contaminación de p_i-q_i, si por el contrario q_i\geq p_i entonces el nivel de contaminación será igual a cero.

Aquí viene lo interesante. La primera hipótesis sugiere que los niveles (p_1^*,p_2^*,...,p_N^*) son fijos y determinados de manera exógena (esto no es propiamente un juego, pero prosigamos a ver a dónde nos lleva). Esto implicaría que la contaminación total C\equiv \sum_{i=1}^N \delta_n(N)p_i es también una cantidad que depende únicamente de n, por lo tanto, el gobierno maximiza su utilidad poniendo botes de basura únicamente hasta el punto en el que C=T, esto claro, asumiendo que el gobierno conoce el umbral que sus gobernados pueden soportar. Difícilmente es un resultado sorprendente, pero parecería que es un punto a favor de quienes opinan que mucho influye el factor cultural, si una cultura está muy acostumbrada a la suciedad, el nivel será alto.

La segunda hipótesis sugiere que el nivel del umbral T puede ser modificado por algún tipo de esfuerzo gubernamental, tal vez, o tal vez un efecto contagio. Por el momento lo dejaré como un problema abierto para siguientes entradas.

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