Juego de Redes (2): Revisión y correcciones

Dado el rotundo fracaso de mi modelo anterior, he decidido revisar lo hecho anteriormente, para nutrir el análisis.

Resulta que en mi post anterior decidí hacer las compras como un conjunto finito y continuo con cota inferior (no se permiten compras negativas) y poner al mercado, siendo q la cantidad que este compra lo mismo que decir del número de compradores continuamente divisibles que deciden entrar a la red.

Resulta que Katz y Shapiro (1985) establecieron primero un mercado con n empresas y un espacio de agentes heterogéneos con densidad 1, donde r designa el tipo de agente al que nos referimos. La heterogeneidad se da en qué tanto están los agentes dispuestos a pagar por el producto (poder de compra?), aunque suponemos que son homogéneos en su forma de valorar las externalidades de red.

Sea x_i^e el número de clientes que un consumidor espera tendrá la empresa i y y_i^e el tamaño de la red esperado de esta misma red. El motivo de esta separación se vuelve claro cuando hablamos de compatibilidad, un determinante clave de las externalidades de red. Si, por ejemplo, la tecnología de todas las empresas fuera incompatible, entonces cada una se vería forzado a establecer su propia red, por lo que y_i^e=x_i^e. Si por el contrario, dos o más empresas (digamos, 2\leq m\leq n) tienen productos compatibles, entonces la red se extiende y y=\sum_{k=1}^m x_k^e. Desde aquí, creo que es evidente que una red más grande podría hacer más valioso al producto para un consumidor, para verificarlo hay que determinar la forma en la que estos obtienen su utilidad.

Un consumidor de tipo r está dispuesto a pagar r+v(y^e) por un producto con una red de tamaño esperado y^e. Sin pérdida de generalidad, podemos normalizar los valores de r y decir que v(0)=0. Algo en lo que estuve anteriormente bien fue en la forma de determinar la utilidad por la externalidad de red, tenemos que v'>0,v''<0,\lim_{y\to\infty}v'(y)=0. Lo último no lo especifiqué, pero es una condición bastante deseable, nos dice que entre más grande el tamaño de la red, el valor que el agente le da se acerca más al máximo que su función de utilidad le da.

El agente entonces desea maximizar su utilidad, eligiendo entre las n empresas aquella que le ofrezca mayor valor. Sólo podrá comprar una unidad del bien (presumiblemente duradero), es decir

max_{i} r+v(y_i^e)-p_i

Siempre que esto sea positivo, el agente elegirá una empresa. Si se diera el caso de que todas las empresas ofrezcan un valor final negativo, el agente se mantendrá fuera del mercado (es otra forma de decir que su costo de oportunidad es una constante igual a 0).

Una sentencia interesante es decir que, dada la homogeneidad de los productos, dos empresas i y j tendrán ventas positivas sólo si sus precios hedónicos esperados son iguales, es decir

p_i-v(y_i^e)=p_j-v(y_j^e)

El precio hedónico es el precio ajustado al tamaño de la red. Sea \phi \equiv p_i-v(y_i^e) el valor común dado de los precios hedónicos, sólo los consumidores para los que r\geq\phi entran al mercado. Dada una distribución uniforme de los consumidores entre menos infinito y A, la cantidad total de consumidores será de A-\phi. Las empresas venden una cantidad total de z\equiv \sum_{i=1}^nx_i por lo tanto, los precios se deben establecer de forma tal que A-\phi=z. O de otra manera,

A+v(y_i^e)-p_i=z

Por lo que el precio debe ser igual a

p_i=A+v(y_i^e)-z

Para conocer las ganancias de la empresa, debemos también considerar los costos. Katz y Shapiro también simplificaron el análisis haciendo los costos fijos y variables iguales a cero G+gx=0. Existe otro costo, que es el relativo a la compatibilidad, que analizaremos después.

Con lo que conocemos, podemos deducir que si todas las redes son incompatibles, es decir, si y_i^e=x_i^e, la ganancia de la empresa i es de

\pi_i=x_i(A-z+v(x_i^e))

Y si todos los n productos son compatibles entre si, y_i^e=\sum_{k=1}^nx_k^e\equiv z^e

\pi_i=x_i(A-z+v(z^e))

Lo cual es evidentemente mayor. Podríamos adelantarnos con algunas conclusiones y decir que a las empresas les conviene abrir su tecnología a otras empresas, pues aumenta la probabilidad de que los consumidores elijan su producto, sin embargo, hacer esto permite que el mercado se diluya, los precios bajen y las ganancias se vean disminuidas.

 

Bibliografía:

Katz, M. L., & Shapiro, C. (1985). Network externalities, competition, and compatibility. The American economic review, 424-440.

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