Juego de Redes: Primer intento fallido

Este es el primer intento de realizar un juego sin tomar como base algún otro. Se desarrolla un modelo muy simple de una mercado con externalidades de red (EDR), con dos jugadores, el mercado y la empresa. Se decidió tomar al mercado como el jugador tomando en consideración que fuera un agente representativo. Una primera idea fue considerar un vector finito de compradores potenciales para un bien con EDR, sin embargo, el análisis resulta mucho más sencillo si se toma q \in \mathbb{R}^+ como el conjunto de agentes que compran el producto. Los agentes deciden en base a su función de utilidad U=q(b-p)+q n(c), donde n(c) es el tamaño de la red del producto. Lo que esta identidad nos dice es que el agente una cierta utilidad intrínseca del producto y además una utilidad proveniente de la red. Esto es suficientemente general para abarcar productos con EDR directas o indirectas (e.g. Telefonía celular, donde el valor se incrementa con el número de personas en la red, o una consola de videojuegos, con el número de juegos que hay disponibles para esta).

El juego se desarrolla de la siguiente manera, primero la empresa decide el gasto que realizará en publicidad. Este gasto influirá en el valor de red n(c), de modo tal que n'(c)>0, n''(c)<0. El agente observa el movimiento de la empresa y decide entonces la cantidad que decidirá comprar. Este tipo de juegos dinámicos se pueden solucionar por inducción hacia atrás, por lo que primero buscamos la función de respuesta del agente, que debe satisfacer

\max_{q} q[(b-p)+q n(c)

Lo cual da

q^*=\frac{p-b}{2n(c)}

Este no es un resultado muy elegante, si nuestra función de demanda estuviera dada por p=a-q, entonces q^*=\frac{a-b}{1+2n(c)}. Esto resulta algo extraño, la cantidad debería estar determinada de forma positiva por el tamaño de la red, sin embargo el resultado nos da que entre más grande sea la red, el tamaño óptimo deberá disminuir. Algo hice mal.

Sin embargo, siguiendo con el ejercicio, supuse que la empresa sabe que el agente es racional y que esa sería su reacción, por lo que él maximizaría su función de beneficios \pi=pq^*-c. Las condiciones de primer orden nos dicen que \frac{\partial\pi}{\partial c}=\frac{p^2}{2}n'(c)-\frac{pb}{2}n'(c)=0 que, simplificando n'(c)=0, nos da que la empresa maximiza su utilidad maximizando exclusivamente sobre el tamaño de la red. Esto tiene más sentido, pero entonces la empresa tomará el tamaño que maximice el tamaño de la red (como n''(c)<0 sabemos que la red no llegará al infinito, y la cantidad de equilibrio que el agente tomará, será definitivamente menor que el tamaño de equilibrio del monopolio.

Seguiré avanzando con este modelo, si tienen observaciones o correcciones son bienvenidas.

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